1972年4月初，休•蒙哥马利他曾是英国皇家学院的一名成员数学前一年，他被研究所停下来，与他们分享了一个新的结果方面Selberg他是该校的教授。蒙哥马利和塞尔伯格之间的讨论涉及蒙哥马利关于零的工作黎曼ζ函数，这是连接到模式的质数在数论．研究所和其他地方的几代数学家都试图证明黎曼假设，它推测黎曼ζ函数的非平凡零点(那些不容易找到的)位于临界线上，实部等于1 / 2。
蒙哥马利发现黎曼ζ函数临界线上零点的统计分布具有某种性质，现在称为蒙哥马利性质对相关猜想．他解释说，相邻能级之间的零倾向于相互排斥。在喝茶时间，蒙哥马利向他提到了他的结果弗里曼-戴森，学院的教授bob苹果下载．
在20世纪60年代，戴森曾研究过随机矩阵理论，这是物理学家提出的尤金·维格纳在1951年描述核物理。的量子力学对重核的认识是复杂的，也很难理解。维格纳做了一个大胆的猜想统计数据的能级可以被随机矩阵捕获。由于戴森在随机矩阵上的工作，分布或统计行为的特征值自20世纪60年代以来，人们已经了解了这些矩阵。
戴森立即发现，蒙哥马利发现的统计分布似乎与随机特征值的对相关分布相同埃尔米特这个矩阵是他十年前发现的。他的结果和我的一样。它们来自完全不同的方向，但你得到的答案是一样的，”戴森说。“这表明，我们还有很多不理解的地方，而当我们真正理解它时，它可能会很明显。但此刻，这只是一个奇迹。”
蒙哥马利和戴森在20世纪70年代喝茶时间的意外发现，开启了质数和数学物理这在今天仍然是奇怪和神秘的。质数是所有数字的组成部分，从古希腊人开始，人们对质数的研究已有两千多年的历史。古希腊人证明了质数的数量是无限的，而且它们之间的间隔是不规则的。
在戴森和蒙哥马利喝茶时间的谈话结束40多年后，为什么同样的分布定律似乎支配着黎曼ζ函数的零点和随机矩阵的特征值，这个问题的答案仍然难以捉摸，但对其解释的寻找促使了数论、数学物理、概率，以及统计。这项研究从不同角度对ζ函数、质数和随机矩阵有了更好的理解，包括分析各种系统，看看它们是否反映了维格纳的预测，即大型复杂量子系统的能级表现出一种普遍的统计行为，一种由精确公式定义的混沌和有序之间的微妙平衡。
维格纳的普遍性猜想在某种程度上与经典相似中心极限定理概率论的一种理论，它解释了为什么自然界中的许多分布趋向于数据的正态分布高斯钟形曲线．英国博学家弗朗西斯·高尔顿爵士将中心极限定理描述为:
“据我所知，几乎没有什么比‘误差频率定律’所表达的宇宙秩序的奇妙形式更容易给人留下深刻的印象了。如果希腊人知道律法，他们就会把它人格化，神化。它在最疯狂的混乱中，以宁静和完全的谦逊统治着。乌合之众越大，明显的无政府状态越严重，其影响力就越完美。这是非理性的最高法则。无论何时，只要我们拿起大量混沌元素的样本，并按照它们的量级排列，就会发现一种从未被怀疑过的、最美丽的规律性形式一直潜伏着。”
几个世纪以来，概率论一直被用来为不相关或弱相关系统建模。有强有力的证据表明，随机矩阵统计在复杂的相关系统中起着类似的基本作用，其中包括铀核的能级，zeta函数的零点，以及墨西哥库埃纳瓦卡市的分散公交系统的间距模式，这是两位物理学家米兰Krbálek和Petr Šeba在20世纪90年代末研究的。公共汽车系统没有中央机构或时间表来管理公共汽车的到站和发车，这些公共汽车由司机个人拥有。为了使自己的收入最大化，司机们根据旁观者获得的关于前面公共汽车发车时间的信息来调整速度。Krbálek和Šeba记录了巴士在各个站点的实际发车时间，并发现巴士之间的间隔符合随机矩阵理论中的统计行为。
根据珀西Deift(学校的常客)，“这样的问题的清单是各种各样的，很长，并不断增长，并指出了人们可能称之为'宏观数学Deift观察到，就像物理学家从宏观系统中普遍行为的出现中辨别物理定律一样，数学家也开始研究各种各样数学问题的普遍性。在这一普遍现象中，一整类看似不相关的问题或物理情况产生了相同的统计直方图，人们正在研究这一现象，以寻找它可能为我们周围世界的各种混沌系统提供的见解。
“有很多确定性的东西表现得很混乱，”他说托马斯。斯宾塞他是数学学院的教授。“总的来说，这是一件很难理解的事情。甚至黎曼ζ函数的零点，由公式给出，也表现为混沌。质数表现混乱。我们不明白它们为什么会这样做，我们想知道它们会在多大程度上这样做。令人惊讶的是，我们可以在某种程度上用随机矩阵来描述这些特征。”
在19世纪中期，数学家开始关注概念性质而不是公式，关注理解抽象概念和关系而不是计算。Bernhard黎曼他是当时发明的一门学科的领军人物，叫做复杂分析。他解释说，如果你想理解一个复解析函数——这是一个与复数有关的规则——你需要理解它的零点的位置。
函数是由欧拉在18世纪。欧拉定义了函数，并表明它与质数的模式有深刻的联系。黎曼，以他的名字命名了ζ函数(你不必是第一个在数学上研究一个对象的人，才能让它以你的名字命名)，在他1859年出版的回忆录中写了关于ζ函数和他的相关假设——这是他唯一一篇关于ζ函数的论文。黎曼的ζ函数和其他类似的ζ函数被称为L-functions(从狄利克雷他在1836年对质数的研究)出现在数论中动力系统理论、几何、函数论和物理学。在他的回忆录中，黎曼试图解释如何得到一个精确的简单的分析公式来计算一个给定极限的质数。
“黎曼假设的失败将对质数的分布造成严重破坏，”他写道Enrico Bombieri在克雷数学研究所网站上的官方问题描述中，它被列为该学院的荣誉教授之一年问题谁能解开就能得到100万美元。“单凭这一事实，黎曼假设就成为质数理论的主要未决问题。”
已故的阿特尔·塞尔伯格是黎曼假设的权威，他开发了许多工具，让数学家可以绕过它。“可能很少有人尝试证明黎曼假设，”塞尔伯格说，“因为，简单地说，没有人有任何真正好的想法来证明它。”Bombieri认为塞尔伯格可能有意在他的声明中包含“好”(就像“很少有好的尝试”)，因为Bombieri从业余数学家和物理学家那里得到了大量的努力。“时不时地，”Bombieri说。“我还收到业余数学家发来的奇怪邮件，他们认为自己已经推翻了黎曼假设。”
在他的回忆录中，黎曼暗示他已经计算出了前几个零。“当然，有一个严格的证明是可取的，”黎曼写道。“经过一些短暂的肤浅的尝试之后，我暂时把这项研究放在一边，因为我的调查的续集并不立即需要它。”当他的笔记在晚些时候被审阅时卡尔·路德维希·西格尔(20世纪40年代的研究所成员和教授)大约在黎曼死后70年，在提出他的猜想之前，黎曼已经确认了前几个零都在临界线上。用最早的计算机之一，阿兰·图灵计算黎曼ζ函数的前一千个零。今天，这个假设已经被证实为数万亿个零。
黎曼ζ函数仍然是现代数学的谜团之一。这是一个除了最重要的问题之外我们了解很多的功能，”他说彼得Sarnak他是数学学院的教授。“它将质数理论与零联系起来，或者对质数理论的深层信息进行编码。它控制质数的方式是我们所不知道的。虽然理解质数是一个重要的问题，但黎曼ζ函数的推广和与之相关的对象使其更加重要。”
一般化是一个数学问题在类似的、不那么具体的情况下的扩展。试图证明黎曼假设已经产生了复杂问题的答案，深入和广泛的影响到许多不同的数学和物理领域。萨尔纳克说，黎曼假设及其概括“在整个节目中都有类似的情况。”“对于世界上出现的所有zeta函数，它的普遍真理是毫无疑问的。它的重要性被放大了，因为有数百个定理表明，如果黎曼假设成立，或者它的一些推广，那么下面的定理也成立，下面的定理可能会令人震惊。尽管许多结果在没有证明黎曼假设的情况下已经被证明，但大多数结果仍然不为人所知。所以它能让你很快得到你想要的结果，因为我们还没能解决这个问题，我们找到了非常复杂的替代品。事实上，如果有人证明了这个黎曼假设和这些推广，你可以扔掉图书馆里的许多书和论文，这些书和论文主要是为了避免不知道它。”
多年来，如果不使用黎曼ζ函数，就无法证明素数定理。1948年的一项伟大成就发生在研究所，塞尔伯格和保罗Erdös(成员，1938-40)给出了质数定理的基本证明，而没有使用黎曼ζ函数。“有些人天真地认为没有基本的证据，”萨尔纳克说。“而且还有进一步的希望，一旦你给出了定理的基本证明，它可能会对黎曼假设给出一个更好的观点，但这还没有实现。”
有人问他，如果五百年后他再活过来，他会做的第一件事是什么?大卫希尔伯特他和乔治(George Pólya)一起提议寻找一个具有黎曼ζ函数零所给出的特征值的量子力学系统，他回答说:“我会问黎曼假设是否已被证明。”安德烈·威尔他是数学学院已故的教授，他在晚年花了巨大的努力试图解决这个问题。韦尔在1979年的一次采访中说:“在过去，我有时会想到，如果我能证明黎曼假设，它是在1859年提出的，我会保守秘密，以便能够在1959年它的百年庆典上公布它。”“自1959年以来，我觉得自己离理想还很远;我渐渐放弃了，并不是没有遗憾。”
1941年，韦尔证明了有限域上所有单变量函数域的黎曼假设的类比，这是他在鲁昂监狱里工作的重点，用他的话来说，“在我的军队义务上与法国当局有分歧”。Weil引入了新的几何观点，允许将问题转化为代数几何中的一个。在1973年,皮埃尔Deligne使用亚历山大Grothendieck的上同调理论，一个线性化问题的工具，证明任何维有限域上完全非奇异射影变的ζ函数的黎曼假设。(由于这项工作和其他开创性的贡献，Deligne，数学学院荣誉教授，被授予2013年挪威科学与文学院阿贝尔奖)。
Weil和Deligne在函数场模拟中得到了他们的结果，实现了零作为矩阵的特征值。萨尔纳克说:“在黎曼ζ函数的情况下，缺少的是对零点的有用的特征值解释。”“从数据中，你有一个真实物体的遗迹，你想要复活。在你开始这样做之前，你需要知道的第一件事是，它真的来自于某个对象吗?有什么好的测试或签名吗?”
量子力学是力学的线性代数解释，其中量子系统的能级对应于矩阵的特征值。它可能提供了一个数学工具，使用线性代数来证明黎曼假设，如果黎曼ζ函数的零表现得像一个矩阵的特征值。
六十多年前，维格纳提出了这样一个问题:如果你取一个随机矩阵，它的特征值是什么样的?如果你随机选择数字，它们看起来会不同吗?结果是，如果你随机选择一个矩阵然后看它的特征值，你会得到一个和直接随机选择数字非常不同的行为。特征值是什么样子成了一个有趣的课题。这就是后来的随机矩阵理论——概率论和线性代数的一个学科——的开端。
戴森在随机矩阵理论上花了大约十年的时间，大约从1962年到1972年，主要是与马丹梅塔(成员,1962 - 63)。在随机矩阵理论中，Dyson和Mehta确定了三种具有不同相关性的矩阵系综:高斯正交系综(时间反转不变性和整数自旋，相邻能级之间的斥力最弱)、高斯酉系综(无时间反转不变性和中等斥力)和高斯辛系综(时间反转不变性，半整数自旋和最强斥力)。乐团缩写为横过，想,GSE,分别。在1989年,教授安德鲁(成员，1983 - 84)计算了黎曼ζ函数接近0的八百万个零20.并在一项深入而彻底的调查中计算了它们的配对相关性，证实了GUE的联系。
萨尔纳克在斯坦福大学读研究生时，保罗•科恩(Member, 1959 - 61,67)向他指出了蒙哥马利关于zeta零点的对相关及其与随机矩阵理论的联系的工作，并问道，为什么会这样?萨尔纳克试图回答这个问题的努力始于一篇论文Zeev鲁德尼克(Member, 2008-10)关于zeta函数的零的高相关性，并最终导致了他对Montgomery工作的扩展。在20世纪90年代，Sarnak和他的合作者尼克·卡茨(1991年以来频繁的Member)将物理学和几何学的技术引入到Deligne证明的函数场设置中，发现不仅对相关函数，而且ζ函数零的所有多能级相关函数都与GUE集合的相关函数一致。他们使用了数学物理的技术，特别是发言他在1961年计算了最近邻特征值间距的分布，以解释这种现象和对称类型。
Deligne在函数场中证明黎曼假设的方法不是一次只看一个函数。Zeta函数可以被收集成族，对于每个族，你都可以问一些关于它们零点分布的微妙问题。
不同的族产生不同的分布，每个族的间距相关性是普遍的，对应于随机矩阵理论。这项研究的核心是一个群体单值组与家族相关，它线性作用于相关空间。单一性是胶水——一种与家族相连的对称性，它使不同的成员结合在一起。其中包括萨尔纳克以前的学生迈克尔·鲁宾斯坦(Member, 2009-10)，数值验证了Katz和Sarnak在经典数论背景下提出的所有猜想都与这种胶水有关。
“不仅有一个矩阵解释，而且在函数场设置的证明中如此关键的胶水，显然也存在于这里。我们知道，我们可以看到它，但我们还没有得到它，”萨尔纳克说。“它导致了预测和定理，因为这种粘合剂控制了一个家庭中发生的大部分事情。我们对它了解一些，但不知道它的真正来源。但仅仅知道我们能证明的关于胶水的东西就足以推导出黎曼假设的一些一般结果，从而解决许多问题。”
在使用随机矩阵理论进一步探索质数和量子物理之间的联系方面也取得了进展。zeta函数在临界线上的偶数“矩”是出了名的难以计算的，特别是它们的渐近行为的领先系数。唯一已知的情况，可以追溯到20世纪20年代，是系数为1和2的第2和第4个时刻。布莱恩Conrey而且阿米特·戈什(自20世纪80年代初以来经常成为会员)推测第六个力矩的系数是42。布里斯托尔大学的物理学家Jon Keating和Nina Snaith使用随机矩阵理论证实了这一结果，并提供了一个公式来预测序列中的所有数字。
各种矩阵集合的普遍性将是学院关于非平衡动力学和随机矩阵的特别年度计划的主要主题之一，斯宾塞明年将与哈佛大学的洪泽丘尔泽(1987-88,2003年成员)一起进行该计划，丘尔泽将是学院的杰出访问教授。Yau与Laszlo Erdos和Benjamin Schlein，以及Terence Tao(访客，2005年)和Van Vu(1997年以来的频繁成员)共同提出了一个最近的证明，该证明指出，只要矩阵的特征值统计量是独立的并且具有相同的分布，它们就不依赖于其元素的分布。
通过研究随机矩阵中的普适性现象，数学家们试图更好地理解普适性是什么，为什么会出现，以及如何使用它。根据研究超对称统计力学和量子力学的斯宾塞的说法，普适性原理表明这是一个庞大的类别。随机矩阵的一些统计性质是已知和理解的，其他的是推测的。
斯宾塞对随机矩阵理论的兴趣源于他对电子在随机环境中运动的量子力学的研究，比如含有随机杂质的晶格。继物理学家菲利普·安德森(Philip Anderson)对磁性和无序系统的电子结构所做的工作之后，斯宾塞一直在研究与维格纳的矩阵非常不同的安德森式矩阵。在这些矩阵中，随机性是有限的。为了理解电子的量子激发，斯宾塞研究了晶格上超对称自旋的统计力学。物理学家弗朗茨·韦格纳(Franz Wegner)和康斯坦丁·埃费托夫(Konstantin Efetov)在20世纪80年代早期解释了电子能级和超对称统计力学之间的关系。在统计力学的语言中，当自旋排列或有序时，在三维上的能级间距应与低温下GUE或GOE的能级间距一致。
斯宾塞说:“如果存在随机性，我们就可以利用超对称统计力学从物理学的角度很好地理解普遍性。”“但对于一个纯粹的确定性系统，我们对维格纳-戴森统计数据将如何出现的理解要差得多。”
也许令人惊讶的是，一位通常被认为理解普遍性的祖先并不支持它。“我的主要贡献是找到了这三个不同的班级。这与普遍性相反，证明了这三种类型是非常不同的。我的偏见恰恰相反，”戴森说。
“我不同意这种宗教信仰的普遍性，但肯定有一些证据。它的思想是，如果你对一个例子证明了什么，那么它很可能适用于所有具有相同结构的事物。这种行为是普遍的。对于一大类对象来说，这是相同的行为。你可以说我有一个脾气很坏的宝宝，所以我假设这是一个普遍性的班级，所有的宝宝都有坏脾气，当然这不是一个有效的结论。［笑着说所以我对普遍性持怀疑态度。有时有效，有时无效。这是你选择例子的问题。你总能找到表现相同的例子，也能找到表现不同的例子。但我不喜欢称它为普遍的，除非它真的在所有地方都是真的。”
如果普世性不能解释这种神秘的联系，为什么黎曼ζ零点的对相关性与GUE特征值的对相关性相匹配?“这是个好问题，”戴森说，“但我们不知道。”
戴森相信准晶体，他研究的是准晶体保罗·斯坦哈特二十多年前，斯坦哈特还是自然科学学院的一名成员时，他为解决黎曼假设提供了一些线索，这将在许多bob苹果下载方向上照亮路径，包括它与随机矩阵理论的联系。戴森说:“人们认为只有两种物质——一种是井然有序的完美晶体，另一种是无序的，只是一堆原子。”“准晶体介于两者之间。它有长程顺序，但没有规则的间距。这是一个很大的惊喜。我花了很多时间试图理解它。还有很多需要了解的地方。”
戴森最初是数学家，是哈罗德·达文波特(Harold Davenport)的学生，后者以在数论方面的大量工作而闻名。戴森还上过哈代的课，哈代证明了临界线上黎曼ζ函数有无穷多个零。2002年，当戴森在数学科学研究所发表演讲时，他向年轻的数学家们提出了研究准晶体的挑战。“像每一个认真学习纯数学的学生一样，当我年轻的时候，我梦想着证明黎曼假设。我有一些模糊的想法，我认为这些想法可能会导致证明，但我从来没有积极地去研究它们，”戴森告诉观众。“近年来，在发现准晶体之后，我的想法变得不那么模糊了。我在这里提出这些建议，供所有有志于赢得菲尔兹奖的年轻数学家考虑。”
准晶体于1984年被发现，存在于一维、二维或三维空间中。Dyson建议数学家对所有一维准晶体(最普遍的类型)进行完整的枚举和分类，目的是确定一个具有与黎曼ζ函数对应的光谱的准晶体和一个与类似黎曼ζ函数的l函数对应的准晶体。如果能证明一维准晶体具有与黎曼ζ函数零点相一致的性质，那么黎曼假设就被证明了。戴森说:“在一维中，不存在对称性，你有大量种类的准晶体，我们从未对它们进行过分类。”“那里有一个巨大的宇宙，我们还没有探索过。一旦你开始研究它，它可能是数学中非常深奥的一部分。这是一个大胆的推测，它可能会导致黎曼假设。但我认为这并非完全疯狂;这当然有可能。”
