从行星运动到量子场论

我们太阳系的行星运动，氢原子的能级，亚原子粒子之间的相互作用有什么共同之处?令人惊讶的是，它们都是由同一个隐藏体控制的对称性的原则。这就是西蒙·卡伦·霍特（现为哥本哈根尼尔斯·波尔研究所助理教授）和我最近在该研究所作为成员所做的工作中发现。

对称是物理学中一个非常重要的概念，主要有两个原因。一方面，具有大量对称性的系统通常更容易求解和研究，因此可以解析地理解其关键性质。另一方面，更根本的是，在物理学的发展中，对称原理常常是一个成功的指导原则，用于描述自然的理论。爱因斯坦的等效原理就是一个例子，它导致了广义相对论的发展。

太阳和地球等行星运动背后隐藏的对称性是什么？这个问题的答案对于开普勒问题很重要，即，在给定一些初始条件的情况下，如何预测两个物体的位置和速度的问题。（应该注意的是，物理学家经常使用“问题”一词，而不是标准意义上的“问题”，它有着消极的含义；相反，它应该被认为是积极意义上的，是一个有趣的挑战。）运动受牛顿定律支配，牛顿定律特别告诉我们，两个物体之间的引力只取决于它们的相对距离。由此可知，轨道位于一个平面上。然而，更仔细地观察这些轨迹，人们会发现它们形成了不随时间前进的椭圆。换句话说，椭圆的方向不变，因此轨道是闭合的。这种规律性暗示了隐藏的对称性，而隐藏的对称性又暗示着运动的恒定性。事实上，以拉普拉斯-龙格-伦茨（LRL）命名的某个向量并不随时间变化（见图）。¹它指向椭圆的近日点，即地球离太阳最近的轨道点，它的守恒性解释了我们观察到的轨道的规律性。

这是一个自然法则具有精确对称的例子。这通常可以使人们更好地理解理论的性质，或进行精确的计算。有时对称只是近似的，但仍然非常有用。在目前的例子中，这种对称性被其他效应所破坏，例如与其他行星的引力相互作用或来自广义相对论的修正。当后者可以被视为一个摄动时，基于对称性的精确解是描述整个系统的一个很好的起点。

在原子尺度上（例如，在描述分子时），经典力学需要被二十世纪上半叶发展起来的量子动力学所取代。氢原子由带正电的质子和带负电的电子组成，可以认为是开普勒问题的量子力学版本。在量子力学中，位置和动量被通常不会相互转换的算符（或矩阵）所取代——这与海森堡测不准原理有关，该原理认为粒子的位置和速度不能同时已知。量子动力学系统由一个哈密顿量来描述，其特征值是允许的能级。事实证明，LRL向量的一个合适的量子版本和哈密顿量交换，这意味着它是量子力学中的一个守恒量。这一事实在量子力学的早期被著名的科学家使用沃尔夫冈·保利为了计算氢原子的光谱，²与先前的实验一致。这一计算甚至可以在量子力学完全发展之前完成，也就是说在薛定谔方程发现之前，这一事实进一步强调了对称性的有用性。

在亚原子尺度上，描述具有固定状态数的系统的量子力学不再适用。这可以通过爱因斯坦著名的能量与物质等价的方程式直观地理解。在足够高的能量下，粒子可以被产生和湮灭。二十世纪下半叶发展起来的量子场论（QFT）适合描述这类系统。它的费曼图可以用来可视化粒子如何相互作用。

所谓的基本粒子标准模型是基于一种称为量子色动力学(QCD)的特定QFT。它被成功地用来描述基本粒子的性质和相互作用，如电子、光子、夸克和胶子。发现希格斯玻色子在欧洲核子研究中心的大型强子对撞机（LHC）上，从理论上讲，这一理论的预测使其成为可能。

量子场论，特别是QCD，非常复杂，只有在非常特殊的情况下才能得到精确解。有人可能会问，是否有一种理想化的QCD，它与量子力学中的氢原子类似，从某种意义上说，它是可以精确求解的。在寻找这样一种特殊的量子场论时，一个自然的问题是LRL对称性是否可以转移到量子场论。

理查德·库特科斯基（Richard Cutkosky）和他的同事们分析了一个电子-质子结合态模型，从中可以得到初步的线索吉安·卡洛·威克(1953年成员)。^3.他们的模型，基于某种近似，只保留费曼图的子集，确实有一个额外的对称性，可以追溯到LRL向量。然而，他们使用的近似是一种特别的近似，例如，忽略了重要的多粒子效应。这就引出了一个问题:这个模型是否可以嵌入一个完全一致的量子场论。

这个问题的答案是在研究一种叫做QCD的超对称版本时得出的N=4家超级杨工厂。这一理论以前被发现在所谓的平面极限中有一种意想不到的隐藏对称，称为双重共形对称，在这种极限中只保留平面费曼图。这可以以一致的方式完成。Simon和我在这个理论中考虑了两个大质量粒子的类氢束缚态，类似于Cutkosky和Wick所考虑的，但包括多粒子相互作用。我们证明了对偶共形对称性与经典LRL对称性直接相关。⁴

就像开普勒和氢的例子一样，对称性大大简化了计算。我们能够使用后者将束缚态能级的计算映射到更简单的情况。这使得这个问题可以通过最近开发的强大的可积性技术来解决，这些技术甚至适用于强耦合区域。这是朝着四维杨-米尔斯理论中束缚态问题的第一个解析解迈出的重要一步。

这项研究还提出了一些有趣的问题：

• 是N=4 Super-Yang Mills具有LRL对称性的唯一量子场论？
• 这种对称性是否可以推广到非平面修正？
• 在量子力学中，事后看来，通过将开普勒问题改写为四维谐振子，可以选择使LRL对称性变得明显的变量。量子场论是否有一种重新表述，使隐藏的对称性得以显现？

在更广泛的背景下，NSuper Yang-Mills可以看作是QCD的一个玩具模型。它不是粒子现象学意义上的玩具模型，而是从量子场论进行预测所需的复杂计算的玩具模型。例如，理论上描述对撞机实验，比如在大型强子对撞机中进行的实验，需要从QFT中计算出散射振幅。对超对称模型的研究已经带来了许多重要的见解和新技术。这条研究线仍然是一项非常丰富的事业，不断揭示关于量子场论的新惊喜，以及与LHC物理相关的执行QCD计算的新工具。

最近的一个具体例子与微扰QFT中出现的众所周知的费曼积分有关。一个关键的想法，由IAS教授提出尼玛·阿卡尼·哈米德他的合作者，是费曼被积函数的奇点结构，可以用来预测综合答案的性质。⁵通过与Nima的讨论和示例，我意识到许多概念可以应用于其他领域N=4家超级杨工厂。这使我提出了一种计算费曼积分的新方法，这种方法目前已被广泛使用。⁶

IAS是世界上为数不多的地方，博士后研究人员找到一个理想的研究环境，没有教学义务，期限等。事实上，不拘于遵循一个特定的、预先确定的研究计划，对于取得新的、意想不到的发现至关重要。也许IAS可以被比作一个平行的宇宙，或者一个保护性的泡泡，在那里，推测性的新想法可以被开发和加强，直到它们能够在严酷的外部现实世界中生存下来。对于我刚才提到的新技术来说，情况当然就是这样。

我非常享受在午餐、在布隆伯格大厅的精彩讨论区、在茶点以及在学院校园的其他地方与其他学院成员和教师讨论我的研究的许多机会。有这么多讨论的可能性，很难记起西蒙和我是如何开始一起工作的，但如果我们的项目开始于下午茶时间或在IAS球场打网球之间的某个时间，我不会感到惊讶。