镜像对称的力量

源于粒子的思想物理在最多样化的数学领域中都有一种不可思议的趋势。这对弦理论．它的刺激作用数学将产生持久而有益的影响，无论它在基础物理学中的最终角色是什么。它涉及的学科数量令人眼花缭乱:分析、几何、代数、拓扑、表示理论、组合学、概率论——这个列表还在继续。

镜像对称是量子理论魔力的一个突出例子——一个真正令人惊讶的空间等价，它彻底改变了几何。故事从枚举几何开始，这是代数几何的一个成熟但不太令人兴奋的分支，用于计数物体。例如，研究人员可能想要计算曲线的数量比丘空间-爱因斯坦引力方程的六维解，在弦理论中特别有趣，它们被用来卷起额外的空间维度。

就像你可以在一个圆柱体上绕橡皮筋多次一样，Calabi-Yau空间上的曲线是由一个叫做度的整数来分类的，它衡量了它们绕的频率。找出给定度的曲线数是一个出了名的难题，即使是对于最简单的Calabi-Yau空间，即所谓的五次空间。19世纪的一个经典结果表明，直线的数量——一级曲线——等于2,875条。二度曲线的数量仅在1980年左右计算过，结果要大得多:609,250条。但是三次曲线的数量需要弦理论家的帮助。

大约在1990年，一群弦理论学家要求几何学家计算这个数字。几何学家们设计了一个复杂的计算机程序，并得到了答案。但弦理论家怀疑这是错误的，这表明编码中有错误。经过检查，几何学家们证实有，但物理学家是怎么知道的?

弦理论学家已经在努力将这个几何问题转化为物理问题。在此过程中，他们开发了一种方法，可以一次性计算任意程度的曲线数量。这一结果对数学界的冲击怎么估计都不为过。这有点像设计一种攀登每一座山的方法，不管多高!

在量子理论中，将各种程度的曲线的数量组合成一个优雅的函数是非常合理的。以这种方式组装，它有一个简单的物理解释。它可以被视为在Calabi-Yau空间中传播的弦的概率振幅，其中应用了历史总和原理。弦可以被认为是同时探测所有可能程度的所有可能曲线，因此是一个超级高效的“量子计算器”。

但要找到实际的解，第二个要素是必要的:使用所谓的“镜像”卡拉比-丘空间的等效物理公式。“镜子”这个词看似简单。与普通镜子反射图像的方式相反，这里的原始空间和它的镜子具有非常不同的形状;它们甚至没有相同的拓扑结构。但在量子理论领域，它们有许多共同的性质。特别地，弦在两个空间中的传播是相同的。原始流形上的困难计算转化为镜像流形上的一个简单得多的表达式，在镜像流形上，它可以通过一个积分来计算。果不其然!

镜像对称说明了量子理论中一个被称为对偶性的强大特性:当将两个经典模型视为量子系统时，它们可以变得等效，就好像挥动了魔杖，所有的差异突然消失了。对偶性指的是量子理论中深奥而神秘的对称性。总的来说，它们被理解得很差，这表明我们对量子理论的理解充其量是不完整的。

这种等价性的第一个也是最著名的例子是著名的粒子-波二象性，即每个量子粒子，如电子，都可以被视为粒子和波。这两种观点各有优点，对同一物理现象提供了不同的观点。“正确”的观点——粒子还是波——完全由问题的性质决定，而不是由电子的性质决定。镜面对称的两面为“量子几何”提供了双重和同样有效的视角。

数学具有连接不同世界的奇妙能力。方程式中最容易被忽视的符号就是不起眼的等号。镜像对称是等号力量的一个完美例子。它能够连接两个不同的数学世界。一个是辛几何领域，这是数学的分支，是力学的基础。另一边是代数几何的领域，复数的世界。量子物理学允许思想自由地从一个领域流向另一个领域，并提供了这两个数学学科意想不到的“大统一”。

令人欣慰的是，数学能够吸收量子物理和弦理论中如此多直观的、往往不精确的推理，并将其中许多想法转化为严格的陈述和证明。数学家们正接近于将这一正确性应用于同调镜像对称这个项目极大地扩展了弦理论最初的镜像对称概念。在某种意义上，他们写了一个完整的字典，包含了出现在两个独立数学世界中的对象，包括它们满足的所有关系。值得注意的是，这些证明往往不遵循物理论证所建议的路径。显然数学家的职责不是为物理学家收拾残局!相反，在许多情况下，为了找到证明，必须发展出全新的思路。这进一步证明了量子理论以及最终的现实背后的深层、尚未被发现的逻辑。