现代数学与朗兰兹计划

有人说，现代的目标数学是重建和发展。¹之间的统一猜想数论而且表象理论那Robert Langlands他在一封写给安德烈·威尔在1967年，继续在研究所的传统，推进数学知识通过确定问题的中心，以理解活跃领域或可能成为中心在未来。

朗兰兹说:“被视为核心的数学概念有两个显著的特点，一是它们同时孕育着自身发展的可能性，二是我们从2500年的历史中可以判断，它们具有永久的有效性。”与生物学相比，首先要与进化论相结合，将生物学与历史相结合，或者与物理它的两个谜，量子理论和相对论理论，数学对人类智力结构的贡献有限，但它的核心贡献是持久的，一个没有取代另一个，而是扩大了它。”²

在他的猜想中，现在统称为Langlands程序，朗兰兹借鉴了Harish-Chandra，方面Selberg，五郎志， André Weil，和赫尔曼·韦尔以及其他与该研究所有广泛联系的机构。

Weyl在1933年被任命为该研究所的教员阿尔伯特·爱因斯坦而且奥斯瓦尔德维布伦他坚信数学的整体统一性，跨越学科和世代。韦尔对整个数学领域的发展产生了重大影响，在物理学方面，他也同样擅长。他的工作横跨拓扑结构、微分几何，李群，表征理论，谐波分析，分析数论，并扩展到物理学，包括相对论，电磁,量子力学．“对[Weyl]来说，过去最好的东西没有被遗忘，”他说迈克尔Atiyah他曾是研究所的教授和成员，“但被当今的数学所吸收和完善。”^3.

几何和分析是Weyl的核心兴趣，他组织和综合的倾向吸引了他的群体理论和他们的表现，也被称为对称．Weyl将表征理论引入了量子力学，引领了现代物理学家从潜在对称群的角度来思考意想不到的规律。

在Weyl, Lie集团和李代数成为数学和理论物理的中心。在相对论和量子力学的共同影响下，李群的无限维表示的研究由haresh - chandra转变为当代数学的一个主要领域。哈里什-钱德拉于1947年至1948年首次来到该研究所，担任理论物理学家的助理保罗·狄拉克他写了第一批关于无限维不可约表示的论文之一。harsh - chandra最终放弃了物理学，转而研究半简单李群的表示理论和调和分析。

朗兰兹在表征理论方面的早期工作涉及将哈里什-钱德拉的方法应用于表征理论自同构的形式．内窥镜检查的zeta函数，其目的是区分不同群体的自同构表征的内部结构，源于Langlands对zeta函数的研究志品种由志村五郎和哈里-钱德拉在60年代创立的离散级数理论发展而来。现代志村品种理论，由Langlands于20世纪70年代命名，始于志村对具有复杂乘法的阿贝尔品种理论的发展。谷山丰以及20世纪50年代中期的韦尔。

Langlands的功能性原则，使用塞尔伯格迹公式以及将不同群体的自同构表征联系起来的基本引理L-groups，是由类场理论和Harish-Chandra给出的半简单李群的表示理论提供的。

许多现代自同构形式理论是由两个基本问题所支配的，这两个问题是朗兰兹计划的核心:朗兰兹的功能原理和一般的类比Shimura-Taniyama-Weil猜想在模椭圆曲线上。的工作安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理，这两个问题，是数学中最深奥的问题之一，是密不可分的。⁴

数学学院教授Peter Sarnak说:“Weyl是李群表示理论之父，haresh - chandra是朗兰兹出现之前这门学科的伟大倡导者之一。”“表征理论出现在物理学中。它出现在代数中。朗兰兹的洞见在于它在数论中的作用。”

朗兰兹的数学视野的广度和范围，从痕迹公式，功能，内窥镜到表示理论和志村品种，可以通过他的论文和他的一些通信和演讲来探索，这些都发表在http://publications.ias.edu/rpl/。这些材料提供了一种历史背景、先例和探索的感觉，导致了最近对基本引理的证明。他们还阐明了朗兰兹对仍然需要关注的问题的观点，并为统一遥远的概念和在明显不相关的学科之间找到新的联系提出了方向。

数学的统一性

数学是一般科学文化的一部分。我们正在为一个完整的、有机的思想集合做出贡献，即使我现在所做的数学部分对其他人没有直接的关联和有用性。如果数学是一个完整的思想体系，并且每个部分都可能对其他部分有用，那么我们都在为一个共同的目标做出贡献。如果数学被认为是支离破碎的专业，都是独立发展并自我证明的，那么很难去争论为什么人们应该被付钱去做这些事情。我们不是像网球运动员那样的艺人。唯一的理由是它对人类思想的真正贡献。即使我没有直接从事应用数学方面的工作，我也觉得我正在为一种数学做出贡献，这种数学能够而且将会对那些对将数学应用于其他事物感兴趣的人有用michael Atiyah

现代数学已经变得如此广泛和复杂，如果数学要保持一个整体，而不是成为一堆琐碎的研究，就必须提供一个统一，在一些简单和一般的理论中吸收科学的不同分支的所有共同基础，压制那些不那么有用和必要的东西，而保留每一个大问题的真正具体细节. . . .很少有人能够掌握科学的全部前沿，不仅能抓住抵抗的薄弱环节，而且能抓住最重要的部分，即集结部队的艺术，使每个部门为其他部门的成功而工作的艺术，等等．——安德烈·威尔

当我们被迫通过一串复杂的形式结论和计算来接受一个数学真理时，我们很不高兴，我们盲目地一个环节一个环节地通过触摸来摸索。我们首先要对目标和道路有个概览;我们想要理解证明的思想，更深层次的背景. . . .现代数学证明与现代机器或现代测试装置没有太大区别:简单的基本原理隐藏在大量技术细节之下，几乎看不见.-Hermann韦尔