约翰·纳什的《数学开放问题》

“因此，这是数学她使你想起灵魂的无形形态;她照亮了自己的发现;她唤醒心灵，净化智力;她为我们的内在思想带来光明;她消除了我们与生俱来的遗忘和无知。”——普罗克罗斯

回顾生活，有些经历被认为很重要，很突出，而另一些经历只是逐渐消失的记忆。然而，有时候，经历可能是如此珍贵，甚至是超现实的，需要时间来消化，他们甚至是你过去的一部分。这样的经历甚至可能会影响你生活的方方面面。花时间和合作小约翰·f·纳什就是这样的一次经历。

这一切都始于2014年9月，在普林斯顿大学数学系所在的芬恩大厅(Fine Hall)的公共休息室里，每天下午举行的一次咖啡/茶会。约翰纳什他默默地走进房间，给自己倒了一杯无咖啡因咖啡，然后独自坐在旁边的椅子上。那是我第一次接触他，我们愉快地聊了聊博弈论和数论相互作用中的问题。从那天起，我们的讨论变得更加频繁。从公共休息室到他的办公室，到图书馆，再到普林斯顿美丽的公园，我们关于数学的各种话题的讨论经常以这样或那样的方式把我们引向一些有趣的数学开放问题。有一次，我们碰巧聊到了大卫希尔伯特著名的23个问题清单。正是这种数学/哲学的对话影响了我们后来的决定，我们决定合作准备一本名为数学中的开放问题，最近由施普林格出版。当然，正如我们在本书的序言中所解释的那样，我们既不打算(在任何程度上!)将我们的悬而未决的问题清单与伟大的希尔伯特的问题清单相比较，也不打算把它们联系起来。毕竟，这几乎是一种亵渎。在本文的读者中，数学家肯定知道希尔伯特的清单，而非数学家可能不知道。因此，我现在简单地为后面的读者写几句话来澄清这张神秘的23个问题的清单以及它是如何产生的。

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Kelly Heyboer, NJ.com报道


国际数学联盟每四年在世界上的一个城市举办一次国际数学家大会(ICM)，这是致力于数学领域的最大和最负盛名的会议。第一届(官方)ICM于1897年在Zürich举行。只有少数例外情况是，ICM在四年后没有组织。第一个例外¹1900年，第二届ICM在巴黎举行。这件事的发生是为了与博览会Universelle最重要的是，这次国际数学大会标志着数学新世纪的开始。在这次事件的几年前，²伟大的法国数学家亨利Poincaré向希尔伯特提议准备一份清单，并详细介绍希尔伯特认为当时整个数学领域中最重要的或最重要的开放问题:一份开放问题清单，将有助于指导下一个世纪的几代聪明的数学家。希尔伯特接受了Poincaré的提议，并为1900年的ICM准备了他著名的23个问题清单。^3.从那时起，这个开放问题的集合一直极具影响力，并引导了大量重要的研究。从1900年开始，数学史上的几位杰出人物投入了多年的研究，努力解决希尔伯特的一个问题。其中一位杰出人物是纳什，他独立于恩尼奥·德·乔吉解决了希尔伯特的第十九题。2014年9月，我和纳什讨论希尔伯特的问题时，我们决定一起准备这本书数学中的开放问题．这段对话的内容主要可以从我们后来共同为本书撰写的序言中总结出来:

对于现代数学家来说，已经很清楚，没有一个研究者，无论他的知识、经验和才能如何，能够全面地概述数学中尚未解决的主要问题和趋势。数学的广度和多样性在上个世纪见证了前所未有的扩张。也许希尔伯特是最后一批能够把数学作为一个整体来讨论的伟大数学家之一，他提出的问题涵盖了当时数学的大部分领域。人们可以这样说，不是因为没有希尔伯特那样的数学家，而是因为人生太短暂，没有机会让自己接触到现代数学领域的全貌。尽管这种想法听起来有些忧郁，但它同时也为不同学科的研究人员之间的密切合作创造了必要性和愿望。因此，纵观数学中的开放性问题，如今已成为一项只有通过集体努力才能完成的任务。

以上节选基本体现了这个项目的理念。在我们决定准备这本书的那天，纳什转向我，用他温柔的声音说:“我不想做只是一个名字但在封面上。我想真正参与其中。”从那以后，我们几乎每天都见面，一次讨论几个小时的数学问题，研究了几个领域的大量悬而未决的问题。在这些讨论中，我更加清楚地认识到，他的思维方式与我所见过的几乎所有其他数学家都非常不同。他以一种非传统的、最有创意的方式思考。他敏捷而独特的头脑在他八十多岁的时候仍然闪闪发光。他仍然有这种火花，一个年轻数学家的灵魂。事实上，他行动缓慢，说话声音平静，这与他对数学的热情无关。我们正在准备的这本书的范围是出版由世界专家邀请的调查论文，介绍纯数学和应用数学中一些基本的未决问题的现状，包括旧的和新的结果，以及用于解决这些问题的方法和技术。一篇说明性论文专门讨论每个问题或相关问题的集合。

在被邀请撰写这篇关于与约翰·纳什共事的经历的文章后，我开始回忆我作为他的合作者和常伴的那些幸运的时光。在所有这些记忆中，我记得在普林斯顿一个寒冷的冬天，至今仍让我瑟瑟发抖。那是2015年1月底，学校取消了课程和研讨会，由于即将到来的暴风雪，学校建议所有成员呆在家里。纳什和我也推迟了我们的会面，直到风暴过去。那天晚上我在家工作时，收到了他的一封电子邮件，这是一种对他作为一个问题解决者的职业生涯的叙述，甚至是一种证明。有趣的是，他没有提到他在博弈论方面的工作，而他更广为人知。同样令我惊讶的是，他在邮件上签上了自己的全名，而不是像他通常在我们的通信中那样只签“约翰”。这封邮件附在下面。

几个月过去了，冬天过去了，我们几乎每天都在继续讨论，而且仍然非常有趣，这也是我永恒灵感的源泉。今年5月，约翰·纳什和艾丽西亚·纳什动身前往奥斯陆，在那里他获得了2015年诺贝尔文学奖阿贝尔奖来自挪威科学与文学院。我们甚至准备了这本书的序言，他非常期待这本书的出版。

借此机会，我也想对这位数学家背后的人说几句话。在著名的电影里美丽心灵，这部电影描绘了他的生活，他被描绘成一个真正好斗的人。的确，在他早年的时候，他可能是这样的，因为他还要与疾病的恶魔作斗争。我比他年轻将近60岁，有机会在他晚年时了解他的性格。所有在他身边的人，包括我自己，都可以承认他是一个真正了不起的人。非常善良，简单，谦逊。这就是为什么，在普林斯顿的朋友中，我经常幽默地说，这部电影应该叫这个名字美丽的心灵和美丽的人．但可以肯定的是，约翰和艾丽西亚之间的爱是真实的，他们一起面对并克服了约翰·纳什生活中的巨大挑战。2015年5月，纳什在奥斯陆获得了阿贝尔奖，从那里回来后，命运让他们一起离开了这种生活，这在某种程度上是一场浪漫的悲剧。

人们可以说，在取得伟大成就的数学家中，有一些人——被挑选出来的少数人——超越了伟大而成为传奇。约翰·纳什就是这样一个传奇人物。我记得2015年3月，普林斯顿大学数学系举办了一场庆祝活动，宣布纳什和路易Nirenberg将分享2015年阿贝尔奖，来自大学通讯办公室的摩根·凯利问我和约翰·纳什合作是什么感觉。我当时对我和纳什合作的感受现在仍然存在。如果你是一个音乐家，有机会和贝多芬一起创作音乐，那将是令人惊讶的。这是一样的。如果像约翰·纳什(John Nash)这样的数学家如此慷慨地将时间和精力投入到比他年轻半个多世纪的研究人员身上，这不禁让人想知道，当时机成熟时，我们应该为渴望学习和探索的年轻一代科学家做些什么。