如何解释“不合理的有效性”数学他是普林斯顿大学已故物理学家尤金·维格纳在回答关于现实世界的问题时?
自然现象可能是以一种根本无法被理解的方式构成的，或者只能用另一种方法来理解。相反，我们反复发现，它们是用我们所拥有的最精确的学习工具——数学——来理解的。
应用数学历来关注定量领域，如微积分，而不是定性领域，如拓扑结构(研究几何图形在不断变形的情况下仍能保持的特性)。感兴趣的是罗伯特·麦克弗森，赫尔曼·韦尔他是数学学院的教授，是拓扑学应用的可能性——超越了高能物理，在那里它已经被证明非常富有成效(例如，Chern-Simons理论)——到生物学或海浪破碎等领域。
“如何理解破碎的波浪?”麦克弗森问道。“嗯，当然不是理解每一个泡沫的每一个小泡泡。定量数学无法捕捉到这里发生的一切。数据太多了。你会用它做什么?这是没有用的。它没有回答任何有趣的问题。你想提取的是你能处理的更简单的东西。你知道这里有一些更简单的东西，因为每一个出现的波都或多或少以相同的方式中断。它并不是什么完全混乱的东西，根本无法理解。 You can see that there is order in this, because it happens repeatedly.”
在上个世纪，拓扑学在普林斯顿得到了很大的发展，这要归功于拓扑学家的远见卓识奥斯瓦尔德维布伦他于1932年成为该研究所的第一位教授，并带领普林斯顿走上了成为该领域世界中心的道路。麦克弗森珍贵的文件之一是一份副本，之前属于安德烈·威尔，数学学院教授(1958-98)拓扑学通过亨利。庞加莱这本书出版于1895年。“我喜欢它，因为它有André韦尔的个人手写笔记，”麦克弗森说。“这是一篇建立了拓扑学整个学科的论文。在前言中，他写了他为什么要这么做，以及为什么需要一门新的语言。他的理由是它实际上出现在应用程序中，他给出了拓扑出现的三个应用程序的例子。”
让麦克弗森吃惊的是，尽管Poincaré引用了这些应用，但拓扑学并没有在开发时考虑到应用，至少直到最近还没有。“事实上，大多数拓扑学家根本没有考虑过应用，”麦克弗森说。“我相信，这些定性拓扑方法在描述现实世界方面非常强大。”
几年前，麦克弗森开始参加普林斯顿大学工程系的研究生课程，他的想法是，有些涉及材料的问题可以从拓扑思维中受益。两年前，麦克弗森和时任普林斯顿大学机械和航空航天工程系主任的大卫·斯罗洛维茨，利用拓扑学发现了一个自1952年以来就存在的开放问题的三维(和更高的)解决方案约翰·冯·诺依曼他是数学学院的教授(1933-57)，在二维空间中解决了这个问题。
冯·诺依曼推导出了一个精确的公式——R=K (V - 6)，其中R是单元面积的生长速度，K是一个常数，取决于温度和材料，V是单元的顶点数。冯·诺依曼的公式适用于由金属或陶瓷中的晶体或泡沫中的气泡形成的细胞。使这个问题的三维解决方案具有挑战性的是，三维细胞可以以许多复杂的方式弯曲，而二维细胞边界基本上只能以一种方式弯曲。
MacPherson和Srolovitz将von Neumann的三维细胞生长公式推广如下:R=K (E - 6L)，其中E是细胞所有边缘的长度，L是细胞的“平均宽度”，用于测量其线性大小。平均宽度L是纯数学的一个“自然”概念，由许多数学家提出，包括Hermann Weyl(教授，1933-55)和John Milnor(前教授，1970-90)。
硬材料(如金属或陶瓷)和软材料(如泡沫)中的三维细胞结构会影响在应用中很重要的材料特性，如硬材料的强度和磁化，或软材料中的复杂流体行为(如破碎波)。这就是三维冯·诺依曼公式有用的原因。研究所继续对这些想法进行研究。在即将到来的学年里，数学学院将迎来两位材料科学家——杰里米·梅森(jeremy Mason)，麻省理工学院硬材料领域的博士后专家兰德尔Kamien他是宾夕法尼亚大学研究软材料的教授。
去年春天，麦克弗森和新泽西州立大学罗格斯大学的康斯坦丁·米塞科(Konstantin Mischaikow)组织了一系列研讨会，讨论拓扑技术在理论和计算方面的当前和未来应用，以组织和理解从神经活动到实验室流体流动等一系列复杂现象的数据。
研讨会在研究所和罗格斯大学轮流举行，并将于今年秋季继续进行，其中包括三场面向广泛跨学科听众的演讲——一场是数学家提出的可能解决问题的技术;一个是科学家提出的有可能解决的问题;还有一个是计算机算法专家，他可以研究这些技术是否能预测特定的解决方案。麦克弗森说:“我们将不得不等待20年，才能看到我们是否正在见证拓扑和应用之间重要的新联系的开始。”
