我有时喜欢想象黑洞内部会是什么样子。这到底是什么意思?它真的“像”黑洞里的任何东西吗?大自然不让我们知道。(好吧，我们可以肯定的是，大自然不让我们知道，也不让我们回来告诉任何人。)但数学物理学做出了一些预测。
约翰-惠勒在20世纪60年代提出，黑洞内部的结构时空可能会被简化成一种量子泡沫。基普·索恩在他的书中描述了这个想法黑洞&时间扭曲如下所示(见图1)。
"这种随机的，概率性的泡沫是奇点，而泡沫是由量子引力．在泡沫中，空间没有任何确定的形状(即任何确定的曲率，甚至任何确定的曲率)拓扑结构)．相反，空间对于这个、那个或另一个曲率和拓扑结构有不同的概率。例如，在奇点内部可能有0.1%概率空间的曲率和拓扑具有(a)所示的形式，(b)所示形式的概率为0.4%，(c)所示形式的概率为0.02%，等等。”
换句话说，也许我们不能确切地说出奇点附近时空的性质，但也许我们可以描述它们的分布。打个比方，如果我们知道我们要抛一枚均匀的硬币一千次，我们不知道任何一次投掷是正面还是反面。但我们可以说，平均而言，我们应该期望有500个正面。此外，如果我们做了多次实验，我们应该期望得到一个钟形曲线(即正态分布)，因此，例如，我们不太可能看到超过600个正面。
为了感受一个随机的空间，这里有一个你可以在家里做的例子。你所需要的只是一副扑克牌、一些布、剪刀和胶带。
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制作一副12张扑克牌的迷你牌:a, 2,3,4,5,6,7,8,9,10, j, q。剪四个三角形纸。如上图所示，将它们的边标为A-Q(对应于你的一副牌)。洗牌，然后从牌堆中取出最上面的两张牌。假设卡片是5和7:将标记为5的一面与标记为7的一面粘在一起，保持每个三角形打印的一面朝上。(这确保你最终得到一个可定向的表面。)再一次，从牌组中取出最上面的两张牌，把对应的三角形边粘起来，重复这一步骤，直到你用完了所有的12张牌，12条边都被粘好。当你读到最后的时候，你可能要把纸折起来。但在粘上6对后，从数学上讲，你肯定会得到一个表面。不确定的是哪个表面。
可能会得到一个曲面同胚的(即，连续变形)到球面或环面。但也可能得到两个球或者一个球和一个环面，所以曲面不需要连接。然而，如果一个人对许多三角形这样做，曲面很可能是连通的，主要的问题是它的属——即。，它有多少个“手柄”或“孔”。事实证明，如果一个粘在一起n用这种方法随机抽取三角形，可以大致得到一个属面n / 4，平均而言。(这是Nicholas Pippenger和Kristin Schleich的一个定理，独立于Nathan Dunfield和William Thurston。)
事实证明，这个相对简单的随机空间模型已经将很多物理编码为n倾向于∞事实上，研究它的动机之一是，它是量子引力的二维离散模拟。所以随机空间为理论物理和宇宙学提供了一个基本的数学模型。
随机空间在数学中也提供了有趣的模型，以及有用的构造理论计算机科学．对于数学家和理论计算机科学家来说，过去五十年的重要发现之一是随机物体通常具有理想的，否则很难获得的属性。到目前为止，这种范式的例子有很多，但最早的一个是在拉姆齐理论．
一个组合事实:在任何六人的聚会中，必须有三个相互认识的人或三个相互不认识的人。这并不一定适用于五个人。让R (n)如果你有一个聚会，请注明最少的人数R (n)那里的人要么n共同的熟人或n相互non-acquaintances。以上面的例子为例，R(3) = 6。众所周知R(4)=18，即在任何18个人中，必须有4个相互认识的人或4个相互不认识的人。但R (n)没有更大的n．
保罗Erdő年代如果先进的外星人威胁地球，告诉我们除非我们告诉他们，否则他们会把我们炸飞R (5)在一年内，我们应该把所有最优秀的人才聚集起来，使用我们所有的计算机资源，看看我们是否能解决这个问题。但如果他们要求R (6)他警告说，我们可能应该先进攻。
当数学家不能精确计算某些东西时，我们通常会寻找边界或估价值。在拉姆齐理论的情况下，下界来自于以某种方式安排一个没有太多共同认识或不认识的聚会。随着人数的增加，明确地描述这种结构变得笨拙，在人们思考了几十年之后，没有人真正知道如何很好地完成它。我们所知道的最佳下界来自于随机分配熟人的简单策略。
一开始，这是一个令人惊讶的想法，但事实证明，它在各种设置中都很强大。在许多问题中，人们希望在一定的约束条件下使某个量最大化。如果约束似乎迫使极端的例子平均分布，那么选择一个随机的例子通常会给出一个很好的答案。这个想法是概率方法的核心。
拉姆齐理论是应用概率方法的众多例子之一组合．这种方法也被应用在数学的许多其他领域，包括度量几何．例如,琼Bourgain(数学学院教授)表明，每个有限度量空间都可以嵌入到欧几里得空间中，且失真相对较低——他的方法是仔细选择一个随机嵌入，并表明它具有高概率的低失真。
概率方法在理论计算机科学中也有很多应用。例如，由随机连接计算机对组成的网络将是相当健壮的，即使有几根电缆故障，所有东西仍然可能连接在一起。这样的网络被称为扩展器扩展器是一个非常活跃的研究领域。尽管随机方法很容易构造展开器，但直到最近，唯一明确的例子来自深入的数论考虑。彼得Sarnak而且Avi Wigderson(学院的教授们)对膨胀理论做出了根本性的贡献。
最近人们对寻找膨胀子的高维类似物很感兴趣，现在已经证明了某些随机空间，类似于上面描述的那些，具有类似膨胀子的性质。看起来，这些新的高维扩展器可能会在光谱聚类和拓扑数据分析、细胞复合体的稀疏化中找到应用，而且可能还会以尚未预料到的方式应用。