辛片
去年9月，数学学院启动了为期一年的项目，我的会员研讨会演讲“第一步”辛动力学大约两年前，一些重要的问题已经变得很明显动力系统是否可以用不同领域的思想来解决，辛领域几何．当时的目标是从动力系统和辛几何一起在一个计划，旨在发展一个共同的核心，并理想地导致一个新的场辛动力学。
不久前，在我2010年在国际会计学会的首次公开演讲中，“从天体力学在《基于面积概念的几何》一书中，我已经描述了辛动力学这一预期领域的历史背景和一些有趣的数学问题。讲座开始时，电脑程序显示了受限空间中的混乱三体问题．这个问题描述了一个物体的运动卫星下重力两个大物体，比如地球和月球，在一个旋转坐标系中，地球和月球保持在固定的位置。将大约10颗卫星以几乎相同的速度放在几乎相同的位置，就说明了系统中的混乱。
我不明白为什么人们害怕新思想。我害怕旧的．—约翰·凯奇
当系统开始进化时，程序会显示卫星路径的彩色跟踪，因为它们从简单的单一轨道进化为复杂的彩色纠缠轨道一旦不同卫星的轨道开始分离。
在我2010年IAS演讲的听众中，有一位作曲家德里克Bermel然后是新任命的艺术家．随着我对德里克的了解，我意识到他对数学感兴趣。所以当我开始计划我即将在辛动力学方面的节目时，我想如果我们的常驻作曲家写了我们后来称为“辛作品”的音乐剧，那将是一件很了不起的事情作文受辛几何的启发。
辛几何是数学中的一个大领域，它与物理有联系，是低维的拓扑结构，和几何，以及动力系统理论．辛几何和动力系统的现代领域起源于此亨利。庞加莱他在天体力学方面的工作。“辛”一词是1939年由赫尔曼·韦尔，是国际会计学会的教员逐字逐句对于“复杂”在他的重要著作中关于古典群的所谓线复群变成了辛群。
德里克和我在午餐时间讨论了几次《辛谱篇》的可能性。他继续偶尔参加有关这个主题的讲座，寻找一种将辛几何映射到乐谱上的方法。但是，尽管有许多有趣的讨论，关键的鼓舞人心的想法却缺失了。去年秋天辛动力学项目开始的时候，“辛碎片”还在天上飘着。
后来有一天，德里克提到他受纽约“看与听音乐节”的邀请，创作一首受委托创作的作品，以纪念先锋作曲家约翰·凯奇诞辰一百周年。据说凯奇是二十世纪美国最有影响力的作曲家之一。然而，除了已经有太多的任务，德里克觉得凯奇的作品可能超出了他作为作曲家的舒适区，所以他拒绝了这个邀请。
但正如凯奇曾经说过的:“想法是一回事，发生的事情是另一回事。”
或者换句话说，我只要说服德里克就行了。
由于充分的准备是一切，我通过订阅了一些研究音乐服务Rhapsody，搜索John Cage并选择“播放所有顶级曲目”。起初，我戴了一个月的耳机似乎已经坏了。进一步的调查显示，最受欢迎的曲目——4分33秒——是一首三乐章的作品，适用于任何乐器，乐谱明确指示演奏者在4分33秒的时间内不要演奏，听众的体验仅仅是周围环境中的环境音。这首创作于1952年的作品表面上沉默，却引起了轩然大波。大约在他的职业生涯的这个时候，凯奇开始将偶然的元素——偶然的操作和偶然的技术——融入到他的作品中。
这是辛乐的完美灵感。机遇、混乱、稳定和舒适区:这些就是联系。辛动力学研究动力系统，通常表现出从稳定运动到稳定运动的整个行为谱确定性混沌-从稳定的“舒适”，系统演变为完全由偶然性治理。
某些看似简单的系统表现出有趣的复杂动力学。前面提到的卫星在地球和月球引力场中的运动就是其中之一。如果卫星以正确的动量停在一个三角形上，它就能表现出稳定性拉格朗日点。另一方面，如果给定适当的初始数据，卫星可以追踪到的可能轨道的结构允许地球和月球之间的许多随机转换模式。
一天吃午饭时，德里克追问我关于决定论混沌的问题。他开玩笑说，这可能是凯奇灵感创作的理想起点。我抓住了这个机会，建议他现在没有理由不接受这个任务。与德里克又吃了几次午餐后，他变得信服了。我们继续讨论如何将三体问题的一些正式方面映射到现场音乐表演上。成员彼得·阿尔伯斯而且阿尔瓦罗·皮雷约提供了当地数学家和画家的资料Ed Belbruno他的想法是利用动力系统和混沌理论获得通往月球的低能新途径，从而拯救了日本宇宙飞船Hiten在1991年。
“辛曲”将是“引力编舞”的音乐表现。一个物体进入另一个物体的邻近区域，绕着它转，然后离开，可能会访问另一个物体，然后返回，等等。根据这个想法，Derek开始为三个或更多的玩家开发音乐算法。
但德里克会怎么做呢?这是个大问题……
驻场艺术家德里克·伯梅尔写道：
当我决定上钩写《辛谱篇》时，我试着缩小我的选择范围。我的第一个问题是:我怎样才能创造出一种听觉表现，来表现像辛动力学这样抽象而复杂的东西?这是什么样的作品呢?它是否带有某种特定音乐风格的特征?会演奏什么乐器?向约翰·凯奇致敬有什么意义?我被许多问题吓倒了，其中最重要的是连续作曲的幽灵，它产生了大量单调的音乐。
我对序列论的一个问题是，尽管它渴望在顺序上是“数学的”，但它的基础似乎只涉及基本的算术(音高集、逆序、逆序-逆序等)，而不是更高阶的概念。我一直在寻找一种开放的方法，它不那么局限于正式的细节，而是更多地受到辛动力学原则的启发。其他(在我看来)更成功的基于数学过程的音乐模型——比如随机音乐Iannis Xenakis或者是杰拉德Grisey而且特里斯坦Murail．但这些与概率论和傅里叶分析，因此似乎与辛系统只是切线相关。
然后是抽象的问题。因为音乐是由振动的空气原子组成的，所以我需要一个动态的类比。赫尔穆特建议用这个标题轨道设计给我。它指的是为科学太空任务设计路线，利用行星的不同引力场来寻找既科学有趣又节能的路线。轨道设计似乎是一个很好的模型，因为它处理天体之间的物理关系，牛顿的引力定律通过天体之间的混沌动力相互作用来表达。
当然，除了上面提到的数学要求外，约翰·凯奇还若隐若现。我决定拥抱他幽灵般的存在，不仅在精神上，而且在形式上。凯奇为开放式乐器创作了许多作品(包括4 ' 33”)．我被“辛片段”这个概念所吸引，因为它会在表演中注入一种可控的不可预测性——或“确定性混乱”——的元素。在耶鲁大学读本科时，我曾演奏过凯奇的几部作品变化1958-67年的作品，在这些作品中，演奏者被指示如何发出声音，但没有节奏、音高或其他任何东西的实际符号。虽然他们的实际表现可以与其他60年代相比。事件的正式结构变化倾向于更加严格和具体。类似的东西似乎适合我的需要。如果我调整一下这个方法，我可以创造一种算法——或者“游戏”——允许音乐家选择他们自己的音乐材料，用这种材料绘制出独特的作品，并与其他表演者互动。
我还在约翰左恩的眼镜蛇而且布奇莫里斯的早期地方剧种他的作品创作于20世纪80年代，展示了构成作品的一系列基本规则。我没有使用凯奇的“机会”，而是使用了“风险”，因为(正如莫里斯所写的)“风险暗示着某种挑战;机会不一定能做到这一点。”
我将作品命名为轨道设计，三个或三个以上的表演者．随着事件的发展，一套指导方针帮助执行者构建决策路径。作品通过他们选择的材料来考验他们的技能和洞察力。因此，我把决策权——“风险”——交给表演者自己。正如凯奇所写，“我的工作变成了对非意图的探索……让我的责任是提出问题，而不是做出选择。”
在轨道设计在美国，每个演奏者通过从各种音乐参数中进行选择，建立了一个独特的词汇表。典型的参数可能包括:音高(频率被组织成模式、微音、和弦和音阶，这表明了八度等效的概念或其他集合);脉冲(基本节奏单位);音符长度(可能包括发音);速度(速度);体积(响度);颜色(音色，包括音色调制的具体效果和强度);空间位置/运动(表演者的物理位置)。
将这些参数组合在一起就产生了由系列、序列或模式组成的复合音乐事件。这些复合参数包括:密度(脉冲+节拍);持续时间(音高+脉冲层+节拍);旋律(音高+脉搏);轮廓(定格+节拍)。
第三种更复杂的层面是演奏者之间的关系——乐曲的整体语言——包括:节奏(节拍的层次);配器(音色层次);和声/韵律(音高层次);对位(音高+脉冲层)。
我实际的“作曲”只是作为一种音乐语法向演奏者提供指示。每个表演者必须选择适用于他们自己的音乐参数的狭窄范围的值。例如，长笛演奏者可以通过选择c3和f#3之间的半音音阶来选择初始音高(和寄存器)值;对于初始的脉冲和节拍值，长笛演奏者可以选择每分钟六十拍的半音符(半迷你音)和四分音符(四分音符)。长笛手继续为音量、音色、房间内的空间位置以及其他与演奏者词汇表相关的数据选择数值范围，确保这些数据被清楚地标记出来。
然后表演者决定哪些参数保持静态(不变)，哪些参数将展开。对于动态参数，表演者指出他们将如何(在哪个方向)展开，并为这种展开设置范围限制。例如，长笛演奏者可以设置脉冲值的范围，使其扩展到包含整个音符(以及最初的四分音符和半音符)。演奏者可以将音高范围扩大到包括c3和c4在内的所有半音，也可以决定音量保持恒定，在mp。在这种情况下，体积被认为是一个惰性参数。
最后，执行者决定参数展开的顺序。一次只能有一个参数是动态的，这样玩家就可以集中精力跟踪它的扩展。然后演奏者保持在每个完成参数的外部极限，同时展开下一个参数，以此类推，直到乐曲结束。在确定了所有的参数、它们的范围和扩展顺序之后，表演者聚集在一起进行试验。在第一次演奏/聆听之后，每个表演者都会对自己的材料范围进行调整，以补充他们合作者的特定设计。
表演中最即兴或“混乱”的元素是绕轨道飞行。绕轨道飞行需要与其他玩家建立关系，这包括从一个随时间变化的有利位置倾听和互动其他人所玩的游戏。随着表演者逐渐适应自己选择的素材，他们就更容易进出彼此的轨道。
在我们讨论的过程中，赫尔穆特指出，围绕某物运行的概念在物理学中并没有确切的定义。尽管如此，如果这两个天体的质量差不多一样大，就可以说它们彼此围绕轨道运行。他还画了一张图表，上面显示，如果有三个天体a、B、C存在，它们的位置可以是彼此靠近(ABC)，也可以是彼此远离(a -B -C)，或者是不同的构型:(AB) -C， (BC) -A， (AC) -B。同样，如果B和C的大小相当，而A要大得多，那么系统(BC)就可以说是围绕A运行，以此类推。我觉得这些格言可以直接应用到轨道设计的表演者身上。
赫尔穆特还指出，三体问题的解决方案是存在的，在三体问题中，物体以随机顺序从一种构型移动到另一种构型。例如:
(ABC) > > (AB) - c > > (ABC) > > a - b - c > > (AC) - b > > (AB) - c > >,等等。
这样的一个“句子”可以映射一个性能的实现轨道设计．当然，还有很多很多其他的。事实上，由于乐谱的“开放”性质(如前所述，乐谱仅由书面指示组成)，每次表演最终必然是不同的。
意识到这种独特的元素，电影节导演安排了连续三个晚上的首演，由三个完全不同的乐团组成。在第一个晚上，轨道设计是由一个打击乐六重奏打击四重奏，道格·珀金斯,鲍比Previte；第二天晚上由三人组演奏禁止长笛；第三天晚上是由弦乐四重奏实现的布鲁克林的骑手．这三种化身差别很大;每一个都有自己的轮廓和动态形状。打击乐舒展而宁静，长笛零星而曲折，弦乐四重奏时而滑稽时而幸福。演奏者们表现得非常专注，之后他们对有机会“从零开始”创作自己的作品表示非常满意。
随着首演日期的临近，我决定没有理由限制轨道设计对于音乐的实现，因为这些说明同样适用于舞者、演员、杂耍演员或任何类型的表演者。我的朋友、舞蹈指导阿比盖尔·莱文(Abigail Levine)曾帮助我磨练了一些正式的概念，她参加了演出，并决定为即将到来的项目编排这部作品运动研究在纽约市的贾德森教堂她为这首歌配上了一段由三位演员表演的舞蹈，名为距离的措施，我作为乐手之一参加了《禁笛》的演出。因此，赫尔穆特提到的引力“编排”终于有机会在实时中表现自己，并进化到另一个维度。
